множество объектов (точек), на котором введена метрика (См.
Метрика пространства-времени). Всякое М. п. является топологическим пространством (См.
Топологическое пространство); за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые шары [при этом открытым шаром радиуса
R с центром в точке
x0 называется совокупность всех точек
х, для которых расстояние ρ(
х, x0) <
R]. Топология одного и того же множества может быть различной в зависимости от метрики, введённой на нём. Например, на множестве вещественных функций, определённых и непрерывных на отрезке [
a, b] числовой оси, можно ввести две метрики:
Соответствующие М. п. обладают разными топологическими свойствами. М. п. с метрикой (1) является полным [для любой последовательности его точек {
xn} такой, что ρ
1(
xn, xm) → 0 При
n, m → ∞, найдётся элемент
x0 М. п., являющийся пределом этой последовательности]; М. п. с метрикой (2) этим свойством не обладает. В М. п. можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность отображения одного М. п. в другое, сходимость, компактность и т.д. Понятие "М. п." было введено М.
Фреше в 1906.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.
В. И. Соболев.